Hallo Poesie,
erst mal willkommen auf kg.de! 
Für deine erste Kurzgeschichte finde ich sie nicht schlecht. So ganz kann ich die Dramatik um den Hund allerdings nicht nachvollziehen. Der Inhalt war für mich nur bedingt interessant. Jedoch bin ich auch kein "Hundemensch". Zumindest war ich neugierig genug, um die Geschichte bis zum Ende zu lesen. 
Nicht alles erscheint mir glaubhaft. Einige Passagen sind unnötig in die Länge gezogen. Am Ende gibt es doch so etwas wie ein "Teil-Happy End".
Ein paar Dinge, die mir beim Lesen aufgefallen sind:
Aaron ist kein besonders schöner Hund, er ist auch nicht hässlich. Er ist nicht besonders aktiv und nicht besonders faul. Er ist nicht besonders intelligent, aber auch nicht dumm. Er ist einfach, wie er ist. Er ist Aaron.
Solche Satzkonstruktionen verwendest du mehrfach. So auch hier:
Aaron ist nicht mehr der Jüngste, er ist auch nicht sonderlich alt.
Oder hier:
so war auch sein Tod nicht besonders schnell und schmerzlos und nicht besonders lang und leidvoll gewesen
Mich persönlich störten diese Konstruktionen. Vielleicht fallen dir noch genauere, kürzere Beschreibungen ein?
So erfüllte auch sein Tod einen Zweck, so wie alles, das Aaron getan hat.
Der Satz überzeugt mich nicht. Ich kann mir nicht vorstellen, dass
alles, was Aaron getan hat, einen Zweck erfüllte. Immerhin reden wir hier von einem Hund. Mit durchschnittlicher Intelligenz:
Er ist nicht besonders intelligent, aber auch nicht dumm.
Wann hatte meine Wohnung aufgehört ein zu Hause für mich zu sein? Und wann hatte es angefangen, dass Aaron für mich unentbehrlich war? Seit wann ist zu Hause für mich, da wo er ist? Ich weiß genau seit wann. Seit dem Moment als ich ihn sah, seit dem Moment, in dem ich seinen furchtbar unglücklichen Blick im Tierheim aufgefangen hatte und seit dem Moment, in dem für ihn zu Hause nur da war, wo ich bin.
Umständliche Formulierung mit vielen Wiederholungen und verwirrend. Diese Passage könntest du mindestens um die Hälfte kürzen.
Z. B. den Satz "Ich weiß nicht genau seit wann" kannst du ersatzlos streichen, die Antwort ergibt sich durch die Fragen automatisch.
Vorschlag:
Seit ich ihn im Tierheim mit seinem furchtbar unglücklichen Blick zum ersten Mal sah, war unser zu Hause da, wo wir beide waren.
Ich denke, so könntest du den kompletten Inhalt des Absatzes in einem Satz zusammenfassen, wenn ich alles richtig verstanden habe.
Allerdings erscheint mir der Inhalt ein bisschen unglaubhaft. War der Moment, in dem Aaron unentbehrlich für deine Protagonistin wurde, wirklich der, als die beiden sich das allererste Mal im Tierheim gesehen haben? Ich denke, der ist erst um einige Zeit später eingetreten ...
„Warten Sie! Ich helfe Ihnen, sie sollten um diese Uhrzeit nicht mehr allein herumlaufen!“, höre ich die Stimme des Mannes hinter mir und warte bis er zu mir aufgeschlossen hat.
„Danke“, sage ich
(...)
„Er muss zu einem Arzt! Ich fahre Sie! Kommen Sie dort oben steht mein Auto!“, meint der Mann neben mir und geht in die Richtung seines Wagens. Schnell nehme ich Aaron auf den Arm und trage ihn zum Auto.
Deine Protagonistin steigt trotz später Uhrzeit in das Auto eines wildfremden Menschen, den sie noch nie zuvor gesehen hat? Das erscheint mir doch reichlich naiv. Er hätte ja weiß Gott was mit ihr anstellen können ...?
Nichts. Kein Rascheln im Laub, kein Schnaufen, kein Getrappel. Einfach nur nichts. Ich gehe den Weg zurück, den ich gekommen bin.
Unnötig. Streichen.
Ich hoffe, die Anmerkungen helfen dir ein wenig weiter.
Liebe Grüße
Michael